Fondamenti di Analisi Matematica 2
Formulario della materia 174 definizioni e teoremi in una pagina
Argomenti
IFunzioni di più variabili: limiti, continuità e topologia
- Funzioni di più variabili, limiti e continuità
- Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri
Esercizi svolti
- Esercizio - continuità con parametro di funzioni definite a tratti (esercizi 2025-26)
- Esercizio - continuità sugli assi di una funzione con seno (appello 5 luglio 2023) Esame
- Esercizio - domini naturali di funzioni di due e tre variabili (foglio 2)
- Esercizio - esistenza di massimo e minimo con Weierstrass (lezione 13)
- Esercizio - interno, frontiera e chiusura di insiemi del piano (lezioni 7, 8 e 10)
- Esercizio - limiti in due variabili con restrizioni, polari e carabinieri (foglio 2 e lezioni 7-8)
- Esercizio - zeri di funzioni continue su insiemi connessi (esercizi 2025-26)
IICalcolo differenziale per funzioni scalari
- Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente
- Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livello
- Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordine
- Forme quadratiche e criteri di definitezza
Esercizi svolti
- Esercizio - continuità e differenziabilità nell'origine con un logaritmo (appello 13 luglio 2026) Esame
- Esercizio - continuità, derivabilità e differenziabilità con un parametro e Cauchy-Schwarz (appello 10 febbraio 2025) Esame
- Esercizio - derivabilità e differenziabilità di una funzione con radice del valore assoluto (lezione 10)
- Esercizio - derivabilità e differenziabilità nell'origine con parametro (esercizi 2025-26)
- Esercizio - derivate direzionali, formula del gradiente e controesempio con tutte le derivate direzionali (lezione 10)
- Esercizio - derivate miste diverse e teorema di Schwarz (lezione 11)
- Esercizio - direzione di massima crescita, piano tangente e insiemi di livello (foglio 2)
- Esercizio - forme quadratiche in tre variabili con Sylvester e autovalori (lezione 12)
- Esercizio - gradiente, derivata direzionale e differenziabilità di una funzione con seno (appello 5 luglio 2023) Esame
- Esercizio - matrice hessiana e differenziale secondo (lezione 11)
- Esercizio - minimo e massimo di una forma quadratica sulla circonferenza unitaria (lezione 12)
- Esercizio - piano tangente e condizioni su un parametro (esercizi 2025-26)
- Esercizio - polinomio di Taylor del secondo ordine e limiti (lezione 11)
- Esercizio - segno di forme quadratiche in due variabili con parametro (lezione 12)
- Esercizio - tangente a una curva di livello e sentiero in discesa (lezione 11)
IIIMassimi e minimi liberi, funzioni convesse
- Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici
- Funzioni convesse di più variabili e minimi globali
Esercizi svolti
- Esercizio - Convessità di una cubica su R2 e sul primo quadrante (foglio 4)
- Esercizio - Dominio convesso e minimo globale di un logaritmo (foglio 4)
- Esercizio - Nove punti critici e minimi globali (appello 9 febbraio 2026) Esame
- Esercizio - Punti critici con esponenziale e assenza di estremi globali (appello 9 settembre 2025) Esame
- Esercizio - Punti critici con hessiana degenere (esercizi 17 e 18)
- Esercizio - Punti critici ed estremi su un disco (appello 27 gennaio 2025) Esame
IVCurve nello spazio
- Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali
- Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea
- Triedro di Frenet, binormale e torsione di una curva nello spazio
Esercizi svolti
- Esercizio - ascissa curvilinea di una spirale conica
- Esercizio - cubica gobba, curvatura, torsione e piano osculatore
- Esercizio - curva piana nello spazio, cilindro e piano, torsione nulla
- Esercizio - curva sul grafico di una funzione, tangente e normale (appello 19 gennaio 2026) Esame
- Esercizio - elica cilindrica, regolarità, tangente e lunghezza (foglio 1)
- Esercizio - lunghezza della cardioide e del grafico del logaritmo (esercizi 2025-26)
- Esercizio - lunghezza di astroide e cicloide, curvatura (foglio 1)
- Esercizio - molla elicoidale, triedro di Frenet, curvatura e torsione (R = 3, k = 4)
- Esercizio - punto su un filo elicoidale a velocità variabile, forze tangenziale e normale
- Esercizio - retta tangente a una curva in coordinate polari (esercizi 2025-26)
- Esercizio - sostegno contenuto in un piano e intersezione cilindro-piano (foglio 1)
- Esercizio - spirale di Archimede, curvatura e componenti dell'accelerazione (foglio 1)
VFunzioni vettoriali e funzioni implicite
- Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinate
- Funzioni implicite e teorema di Dini nel piano
Esercizi svolti
- Esercizio - Funzione implicita, Taylor e punti di non esplicitabilità (esercizio 13)
- Esercizio - Jacobiana, composizione di funzioni e coordinate polari (lezione 17)
- Esercizio - Limite, punto stazionario e minimo di una funzione implicita (esercizi 14, 15 e 16)
- Esercizio - Trasformazione quadratica, determinante jacobiano e inversa (lezione 19)
VIEstremi vincolati su curve e superfici
- Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange
- Estremi vincolati nello spazio - superfici e curve intersezione di due superfici
Esercizi svolti
- Esercizio - anello inclinato, punto più alto con due moltiplicatori
- Esercizio - Distanza minima da una curva con punto singolare (esercizio 19)
- Esercizio - Estremi assoluti su un triangolo (esercizio 25)
- Esercizio - Estremi assoluti su una striscia illimitata (lezione 17) Esame
- Esercizio - Estremi su un'ellisse piena con parametrizzazione (appello 31 gennaio 2023) Esame
- Esercizio - Lagrange su un'ellisse e sull'ellisse piena (appello 7 settembre 2026) Esame
- Esercizio - Lagrange su una circonferenza e sul disco (appello 8 luglio 2025) Esame
- Esercizio - Lagrange su una circonferenza non centrata e sul disco (appello 26 gennaio 2026) Esame
- Esercizio - momento d'inerzia minimo e massimo rispetto agli assi per un punto
- Esercizio - prodotto xyz su una palla, estremi assoluti su un solido
- Esercizio - Rettangolo di perimetro minimo con area assegnata (lezione 16)
- Esercizio - serbatoio aperto di volume assegnato e superficie minima, con un moltiplicatore
VIIIntegrali doppi
- Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione
- Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana
Esercizi svolti
- Esercizio - Baricentro di un settore di corona circolare e disco non centrato (esercizio 42)
- Esercizio - Cambio di variabili lineare con somma e differenza (esercizio 35)
- Esercizio - Cilindroide su un settore circolare, baricentro e momento d'inerzia (lezione 19)
- Esercizio - Integrale doppio su un dominio fra due curve (esercizio 31)
- Esercizio - Integrali generalizzati, gaussiana e potenze (lezione 22)
- Esercizio - Inversione dell'ordine di integrazione e volume fra superfici (esercizi 33 e 38)
- Esercizio - Volume di un cilindroide con arcotangente su un settore di corona (appello 31 gennaio 2023) Esame
VIIIIntegrali curvilinei, tripli e momenti d'inerzia dei corpi
- Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia
- Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione
- Baricentro, momenti d'inerzia e tensore d'inerzia dei corpi con gli integrali tripli
Esercizi svolti
- Esercizio - baricentro di una curva in coordinate polari (esercizi 2025-26)
- Esercizio - baricentro e momento d'inerzia di un arco di circonferenza e di astroide (lezioni 4 e 5)
- Esercizio - Cilindro con cavità sferica, volume e integrale triplo (appello 3 settembre 2024) Esame
- Esercizio - Cilindroide a base triangolare e integrale triplo con singolarità (appello 9 luglio 2024) Esame
- Esercizio - Cono e sfera, volume con quattro metodi (esercizio 32) Esame
- Esercizio - cono pieno, baricentro e momenti d'inerzia con Huygens-Steiner
- Esercizio - cubo omogeneo, tensore d'inerzia in un vertice e assi principali
- Esercizio - ellisse come insieme di livello e integrale curvilineo (appello 13 febbraio 2026) Esame
- Esercizio - Integrale di z su un solido fra paraboloide e sfera (esercizio 41)
- Esercizio - integrali di prima specie su elica e spirale (foglio 1 ed esercizi 2025-26)
- Esercizio - sfera a densità decrescente, massa e momento d'inerzia
- Esercizio - Solido di rotazione fra cono e iperboloide, volume e baricentro (appello 5 settembre 2023) Esame
- Esercizio - volano a corona in acciaio, massa, momento d'inerzia ed energia
IXCampi vettoriali, lavoro e formule di Green
- Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali
- Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessi
- Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano
Esercizi svolti
- Esercizio - area e momenti di una regione sotto la cicloide con Gauss-Green (lezione 25 e dispensa)
- Esercizio - campo con funzione incognita e potenziale su R2 (appello 7 settembre 2026) Esame
- Esercizio - campo con funzione incognita, potenziale e lavoro (appello 26 gennaio 2026) Esame
- Esercizio - campo con parametro sul piano bucato (appello 30 gennaio 2024) Esame
- Esercizio - circuitazione del vortice attorno a una singolarità (lezione 25)
- Esercizio - circuitazione lungo un'ellisse con Gauss-Green (foglio 6, esercizio 9; Esercizi 2025-26, n. 52)
- Esercizio - circuitazione lungo una circonferenza nello spazio (foglio 6, esercizio 10)
- Esercizio - integrale doppio con bordo parametrico e Gauss-Green (foglio 6, esercizio 11)
- Esercizio - lavoro di una forma differenziale lungo un arco di circonferenza (Esercizi 2025-26, n. 45)
- Esercizio - lavoro lungo un arco di parabola e area della superficie di rotazione (appello 9 febbraio 2026) Esame
- Esercizio - lavoro sul bordo di un triangolo con Gauss-Green (esame 25 febbraio 2014)
- Esercizio - quattro campi, irrotazionalità, conservatività e potenziale (foglio 6, esercizio 13)
XSuperfici, flusso e teoremi di Gauss e di Stokes
- Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie
- Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore
Esercizi svolti
- Esercizio - area di un elicoide e di una sella (foglio 6, esercizi 1 e 3)
- Esercizio - area di un grafico su un semidisco (appello 30 gennaio 2024) Esame
- Esercizio - aree di cilindro, cono e superficie di rotazione (Esercizi 2025-26, nn. 56 e 57)
- Esercizio - circuitazione su un'ellisse nello spazio con Stokes (lezione 35)
- Esercizio - flusso attraverso un grafico su un semidisco (appello 30 gennaio 2024) Esame
- Esercizio - flusso attraverso una calotta paraboloidica e il solido chiuso (foglio 6, esercizio 2)
- Esercizio - flusso del rotore attraverso una semisfera e un grafico (foglio 6, esercizi 16 e 17)
- Esercizio - flusso e rotore su un solido parabolico (esame 4 febbraio 2014)
- Esercizio - flusso uscente da un iperboloide a due falde (appello 13 luglio 2026) Esame
- Esercizio - integrale di superficie su un paraboloide ellittico (appello 7 settembre 2026) Esame
- Esercizio - volume e flusso uscente da un solido delimitato da due grafici (appello 26 gennaio 2026) Esame
XISistemi di equazioni differenziali lineari
- Problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali
- Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti
- Sistemi lineari n per n - matrice fondamentale, esponenziale e variazione delle costanti
- Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2
Esercizi svolti
- Esercizio - classificazione dell'origine per alcune matrici e oscillatore smorzato (lezione 34)
- Esercizio - due masse e tre molle, modi normali e battimenti
- Esercizio - equazione del secondo ordine con forzante trigonometrica e sistema con autovalore doppio (Esercizi 2025-26) Esame
- Esercizio - integrale generale di sistemi omogenei 2x2 (lezione 32)
- Esercizio - intervallo massimale di problemi di Cauchy a variabili separabili (temi d'esame 2013-14) Esame
- Esercizio - problema di Cauchy con il valore assoluto, y' = abs(y) + 1 (lezione 31)
- Esercizio - quali teoremi si applicano, Peano, Cauchy e crescita lineare (lezione 31)
- Esercizio - sistema 3x3 con autovalore doppio diagonalizzabile e problema di Cauchy
- Esercizio - sistema 3x3 con autovalori complessi e problema di Cauchy
- Esercizio - sistema con parametro, stabilità e soluzione per un caso fissato (temi d'esame) Esame
- Esercizio - sistema forzato, risonanza e soluzioni periodiche (lezione 34)
- Esercizio - sistema lineare con parametro e problema di Cauchy (appello 13 luglio 2026) Esame
- Esercizio - sistemi non omogenei 2x2 e metodo di somiglianza (lezione 33)
- Esercizio - stabilità dell'origine al variare di un parametro (lezione 35)
- Esercizio - stabilità e problema di Cauchy al variare di un parametro (ricevimento, appello 8 luglio 2025) Esame
- Esercizio - variazione delle costanti con forzante 1 su coseno