Calcolo Numerico
Formulario della materia 38 definizioni e teoremi in una pagina
Argomenti
IErrori e aritmetica di macchina
- Aritmetica di macchina - floating point, precisione di macchina e cancellazione
- Condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo
Esercizi svolti
- Esercizio - Cancellazione in (1 - cos x)/x2 con cinque cifre significative
- Esercizio - Numeri di macchina di F(2,3,-1,2), arrotondamento e somma non associativa
- Esercizio - Numero di condizionamento di ln x, ex, 1/(1-x) e cos x
- Esercizio - Passo ottimo nella derivata numerica di ln x, differenze in avanti e centrate
- Esercizio - Problema ben condizionato e algoritmo instabile, ex - 1 per x piccolo
- Esercizio - Propagazione dell'errore in una differenza e riformulazione di sqrt(x2+1) - x
- Esercizio - Radici di un'equazione di secondo grado in F(10,4) senza cancellazione
- Esercizio - Ricorrenza p(n+1) = (10/3) p(n) - p(n-1) instabile
IIEquazioni non lineari
- Metodo di bisezione e iterazioni di punto fisso
- Metodo di Newton, metodo delle secanti e ordine di convergenza
Esercizi svolti
- Esercizio - Bisezione per ex = 3x, numero di iterazioni e intervalli con segni uguali
- Esercizio - Criteri di arresto, incremento contro errore e residuo di (x-1)3
- Esercizio - Newton per x = cos x, confronto con il punto fisso e costante asintotica
- Esercizio - Newton su una radice tripla e metodo modificato
- Esercizio - Punto fisso per x = e-x, teorema delle contrazioni e stima a priori
- Esercizio - Reciproco con Newton senza divisioni e intervallo di convergenza
- Esercizio - Secanti contro Newton per la radice di 2 e un ciclo di Newton
- Esercizio - Tre riscritture di x2 - 5x + 4 = 0 e punti fissi attrattivi
IIIInterpolazione e approssimazione
- Interpolazione polinomiale - forma di Lagrange, differenze divise ed errore
- Interpolazione a tratti, spline cubiche e minimi quadrati
Esercizi svolti
- Esercizio - Differenze divise di una tabella, grado del polinomio e un dato sbagliato
- Esercizio - Fenomeno di Runge per 1/(1+x2 su [-5,5] con nodi equispaziati e di Chebyshev
- Esercizio - Interpolazione di sqrt(x) con nodi 1, 4, 9 e perdita di accuratezza vicino a zero
- Esercizio - Interpolazione lineare a tratti di sin x, errore e numero di intervalli
- Esercizio - Modello esponenziale linearizzato e confronto con i minimi quadrati non lineari
- Esercizio - Retta dei minimi quadrati per la rigidezza di una molla, con e senza intercetta
- Esercizio - Spline cubica naturale su quattro nodi, momenti e continuità delle derivate
- Esercizio - Stima di ln 2,5 con tre nodi, Lagrange, Newton e maggiorazione dell'errore
IVIntegrazione numerica
- Formule di quadratura - trapezi, Cavalieri-Simpson ed estrapolazione di Richardson
- Quadratura gaussiana e formule composite adattive
Esercizi svolti
- Esercizio - Gauss a due e tre punti su 1 su x e confronto con Simpson
- Esercizio - lavoro di una forza da dati misurati con trapezi, Simpson e Richardson
- Esercizio - nodi e pesi di Gauss a due punti, composita e numero di intervalli
- Esercizio - numero di sottointervalli per una tolleranza assegnata
- Esercizio - periodo del pendolo con grande ampiezza e quadratura gaussiana
- Esercizio - Simpson adattiva a mano e confronto con il passo uniforme
- Esercizio - tabella di Romberg e stima dell'ordine di convergenza
- Esercizio - trapezio, punto medio e Simpson semplici su 1 su x
VSistemi lineari
- Fattorizzazione LU, pivoting e Cholesky
- Norme di matrici e condizionamento dei sistemi lineari
- Metodi iterativi - Jacobi, Gauss-Seidel e convergenza
Esercizi svolti
- Esercizio - Cholesky della matrice di rigidezza di una catena di tre masse
- Esercizio - condizionamento della matrice di rigidezza di una catena di molle
- Esercizio - conduzione del calore in una barra con Jacobi e Gauss-Seidel
- Esercizio - fattorizzazione LU di una matrice 3x3, sistema e determinante
- Esercizio - Gauss-Seidel a mano e confronto con Jacobi
- Esercizio - Jacobi a mano, dominanza diagonale e stima del numero di iterazioni
- Esercizio - matrici di iterazione e raggio spettrale di sistemi 2x2 e 3x3
- Esercizio - norme e raggio spettrale di matrici 2x2 e 3x3
- Esercizio - numero di condizionamento di un sistema 2x2 quasi singolare
- Esercizio - pivot piccolo in aritmetica a quattro cifre e costo della fattorizzazione
- Esercizio - pivoting parziale su una matrice 3x3 con scambio di righe
- Esercizio - residuo ed errore in un sistema ben e mal condizionato
VIEquazioni differenziali ordinarie
- Metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson
- Stabilità assoluta, problemi stiff e sistemi di equazioni differenziali
Esercizi svolti
- Esercizio - Eulero esplicito a mano e confronto con la soluzione esatta del raffreddamento
- Esercizio - Eulero implicito e Crank-Nicolson per un'equazione non lineare con Newton
- Esercizio - Eulero implicito e Crank-Nicolson su un'equazione lineare con forzante
- Esercizio - massa-molla-smorzatore ridotto al primo ordine e passo di stabilità
- Esercizio - ordine di convergenza dalla tabella degli errori e stima del passo
- Esercizio - oscillatore armonico con Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson, energia
- Esercizio - passo massimo di Eulero esplicito per un'equazione test e confronto con i metodi impliciti
- Esercizio - sistema 2x2 stiff con autovalori -1 e -100 e limite di stabilità