Esercizio 18vettore gaussiano con covarianza diagonale

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Lettura dei dati

Nella matrice di covarianzaDiagonale: le varianze; fuori diagonale: le covarianze.Covarianza e coefficiente di correlazione →:

• sulla diagonale: $\text{Var}(X) = 2$, $\text{Var}(Y) = 2$;
• fuori diagonale: $\text{Cov}(X, Y) = 0$.

Medie: $E[X] = E[Y] = 0$. Le marginali di un vettore gaussiano sono gaussiane (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →), quindi $X \sim N(0, 2)$ e $Y \sim N(0, 2)$.

(a) Indipendenza e densità congiunta

Indipendenza

$\text{Cov}(X, Y) = 0$: $X$ e $Y$ sono non correlate. In generale questo non basta per l'indipendenza, ma per un vettore gaussiano sì: le componenti di un vettore gaussiano sono indipendenti se e solo se la matrice di covarianza è diagonale (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →).

$$\boxed{X \text{ e } Y \text{ sono indipendenti}}$$

Densità congiunta

Per l'indipendenza è il prodotto delle marginali $N(0, 2)$. La densità di $N(0, \sigma^2)$ con $\sigma^2 = 2$ è $\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 2}}e^{-x^2/(2\cdot 2)} = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-x^2/4}$, quindi

$$f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-x^2/4}\cdot\frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-y^2/4} = \frac{1}{4\pi}e^{-\frac14(x^2 + y^2)}.$$

$$\boxed{f(x, y) = \frac{1}{4\pi}\exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{4}\right), \qquad (x, y) \in \mathbb R^2}$$

Controllo con la formula generale $\frac{1}{2\pi\sqrt{\det\Sigma}}\exp\left(-\frac12 v^T\Sigma^{-1}v\right)$: $\det\Sigma = 4$, $\Sigma^{-1} = \frac12 I$, quindi $\frac{1}{2\pi\cdot 2}\exp\left(-\frac12\cdot\frac{x^2 + y^2}{2}\right)$ ✓. In dettaglio: $\det\Sigma = 2 \cdot 2 - 0 \cdot 0 = 4$ e $\sqrt{\det\Sigma} = 2$; l'inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa → di una matrice diagonale si ottiene invertendo gli elementi della diagonale, $\Sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$; con $v = (x, y)$ la forma quadratica è $v^T\Sigma^{-1}v = \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2}$, e $-\frac12 \cdot \frac{x^2 + y^2}{2} = -\frac{x^2 + y^2}{4}$.

La densità dipende solo da $x^2 + y^2$, cioè dalla distanza dall'origine: le curve di livello $f = \text{cost}$ sono le circonferenze $x^2 + y^2 = r^2$ centrate nell'origine (varianze uguali e covarianza nulla). Per questo gli integrali di questa densità su dischi si fanno comodamente in coordinate polariSe Φ(u, v) = (x, y) è C¹, iniettiva (salvo insiemi di area nulla) con det JΦ ≠ 0, allora ∬D f dx dy = ∬D' f(Φ(u, v)) |det JΦ(u, v)| du dv: il fattore |det J| misura come Φ dilata le aree. Trasformazioni lineari: |det A| costante (ellisse: area πab). Coordinate polari x = r cos θ, y = r sin θ: dx dy = r dr dθ, adatte a dischi, corone e settori. Applicazioni: area, massa, baricentro, momento d'inerzia.Cambio di variabili negli integrali doppi e coordinate polari →.

(b) Legge di $V = X + Y$ e $P(|V| > 2)$

Legge di $V$

$V$ è una combinazione lineare di un vettore gaussiano (equivalentemente: somma di due gaussiane indipendenti), quindi è gaussiana (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →). Bastano media e varianza:

$$E[V] = E[X] + E[Y] = 0, \qquad \text{Var}(V) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y) = 2 + 2 + 0 = 4.$$

Quindi $V \sim N(0, 4)$, con deviazione standard $\sigma_V = \sqrt 4 = 2$ e densità $f_V(v) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 4}}e^{-v^2/(2 \cdot 4)} = \frac{1}{\sqrt{8\pi}}e^{-v^2/8}$. La varianza viene dalla formula $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y)$ di Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →.

Funzione di distribuzione. Standardizzando ($\frac{V - 0}{2} \sim N(0, 1)$, e dividere entrambi i membri per $2 > 0$ non cambia il verso della disuguaglianza):

$$\boxed{F_V(v) = P(V \le v) = P\left(\frac V2 \le \frac v2\right) = \Phi\left(\frac v2\right)}$$

dove $\Phi$ è la FdD della gaussiana standard (non ha espressione elementare, si lascia indicata).

$P(|V| > 2)$

$|V| > 2$ significa $V > 2$ oppure $V < -2$ (due code). Dividendo per $\sigma_V = 2$, con $Z = \frac V2 \sim N(0, 1)$:

$$P(|V| > 2) = P(|Z| > 1) = P(Z > 1) + P(Z < -1) = (1 - \Phi(1)) + \Phi(-1).$$

Per la simmetria $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$: la densità standard è una funzione pariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →, quindi l'area a sinistra di $-1$ è uguale all'area a destra di $1$, cioè $P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - \Phi(1)$. Il valore $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ si legge dalle tavole (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →).

$$\boxed{P(|V| > 2) = 2\big(1 - \Phi(1)\big) \approx 2(1 - 0{,}8413) \approx 0{,}317}$$

È la regola "68%": una gaussiana sta entro una deviazione standard dalla media con probabilità circa $0{,}683$, quindi ne esce con probabilità circa $0{,}317$.

(c) Funzione caratteristica di $W = 2 + V$

Funzione caratteristica della gaussiana (Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →): per $N(\mu, \sigma^2)$, $\varphi(\theta) = e^{i\mu\theta - \frac{\sigma^2}{2}\theta^2}$. Per $V \sim N(0, 4)$:

$$\varphi_V(\theta) = e^{-\frac42\theta^2} = e^{-2\theta^2}.$$

(con $\mu = 0$ il termine $i\mu\theta$ sparisce e resta $-\frac{\sigma^2}{2}\theta^2$ con $\sigma^2 = 4$).

Traslazione. Per la proprietà affine $\varphi_{V + b}(\theta) = e^{ib\theta}\varphi_V(\theta)$, con $b = 2$:

$$\varphi_W(\theta) = E[e^{i\theta(2 + V)}] = e^{2i\theta}E[e^{i\theta V}] = e^{2i\theta}e^{-2\theta^2}.$$

Il passaggio centrale usa $e^{i\theta(2 + V)} = e^{2i\theta} \cdot e^{i\theta V}$ (la regola $e^{a + b} = e^a e^b$ vale anche per esponenti complessi, Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →) e il fatto che $e^{2i\theta}$ è un numero, non aleatorio, che esce dalla media per linearità.

$$\boxed{\varphi_W(\theta) = e^{2i\theta - 2\theta^2}}$$

Controllo diretto. $W = 2 + V \sim N(2, 4)$ (traslare non cambia la varianza), e la formula con $\mu = 2$, $\sigma^2 = 4$ dà $e^{2i\theta - 2\theta^2}$ ✓.

Lettura. Il modulo $|\varphi_W(\theta)| = e^{-2\theta^2}$ è quello di $V$: la traslazione aggiunge solo una fase $e^{2i\theta}$ (come un ritardo nel dominio del tempo produce una fase nella trasformata di Fourier, vedi Proprietà della trasformata di FourierLe regole della trasformata di Fourier trasformano operazioni sui segnali in operazioni sulle trasformate: linearità, ribaltamento, coniugio, traslazione nel tempo ($\times e^{-i2\pi ft_0}$) e in frequenza, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, cambio di scala $s(at)\to\frac1{|a|}S(f/a)$, derivazione ($\times i2\pi f$), integrazione, regola di simmetria ($S(t)\to s(-f)$). Area $S(0)=\int s$, teorema di Parseval $\int|s|^2=\int|S|^2$. Durata e banda sono inversamente legati e un segnale non può avere durata e banda entrambe limitate; la banda del prodotto è la somma delle bande. Con queste regole si ricavano quasi tutte le trasformate senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →). Infatti $|e^{2i\theta}| = 1$ per ogni $\theta$ reale.

Errori comuni

• Dire "non correlate quindi indipendenti" senza citare la gaussianità: è il punto che il testo vuole vedere giustificato.
• Usare $\sigma = 2$ invece di $\sigma^2 = 2$ nella densità di $X$: $N(0, 2)$ ha varianza $2$ e deviazione standard $\sqrt2$.
• Standardizzare $V$ dividendo per $4$: si divide per $\sigma_V = 2$.
• Calcolare solo una coda in $P(|V| > 2)$.
• Scrivere $\varphi_W(\theta) = 2 + \varphi_V(\theta)$: una costante additiva in $W$ diventa un fattore $e^{ib\theta}$, non un addendo.